[转帖]趣味的博弈论：帽子的颜色

田成杰

　　　　　　　　　趣味的博弈论：帽子的颜色 作者：潘天群

 

　　有一群人围坐在一起，为了便于分析，假定只有4人（这与人数多少无关，可作同样分析）。每个人头戴一顶帽子，帽子为红色的还是白色的红色和白色两种，每个人看不到自己帽子的颜色，但能看到别人帽子的颜色。因此此时他不能判定出自己头上的帽子的颜色。

　　为了分析的方便，我们假定这4个人均戴的是红色的帽子。这时候，一个局外人来到他们的群体当中，对他们说：“你们其中至少一位头戴的是红色的帽子。”当他说了这句话后，他问：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”4个人都说“不知道”；这个局外人第二次问：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”4个人又都说“不知道”。局外人第三次问：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”4个人又说“不知道”。局外人又问第四次：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”这时4个人均说：“知道了！”

　　你能知道为什么吗？

　　当局外人未宣布“至少一个人戴的是红帽子”时，这个事实其实每个人都知道了，因为每个人看到其他3个人的帽子都是红色的，但每个人不知道其他人是否知道这个事实，即这个事实没有成为公共知识。而当这个局外人宣布了之后，“至少一个人帽子是红色的”便成了公共知识。此时不仅每个人知道“至少一个人的帽子是红色的”，每个人还知道其他人知道他知道这个事实……

　　局外人第一次问时，由于每个人面对的其他3个人都是红色的帽子，每个人当然不能肯定自己头上的帽子是什么颜色，于是均回答“不知道”。此时，如果只有1个人戴红色的帽子，那么这个人因面对3个戴白色的帽子，他肯定知道自己的帽子颜色。因此，当4个人均回答“不知道”时意味着“至少有2人戴的是红色的帽子”，而且这也是公共知识。

　　当局外人第二次问时，如果只有2人戴的是红色的帽子，这2人就会回答说“知道”——因为他们各自面对的是1个戴红色帽子的人。由于每个人面对的是不止一个戴红色帽子的人，因此当局外人第二次问时，他们只能回答“不知道”。——此时的“不知道”，意味着“至少3个人戴红色的帽子”，并且它成为公共知识。

　　同样，局外人第三次问时，他们均回答“不知道”，意味着4个人均戴的是红色的帽子。因此，当局外人第四次问时，他们就知道宣布每个人头上均戴的是红色的帽子，于是，他们回答“知道”。

　　在这个过程中，当局外人首先宣布“其中至少一个人的帽子是红色的”，以及第二、第三、第四次回答的时候，无论是回答“知道”还是“不知道”——它们构成公共知识——构成所有人推理的前提，在这个过程中，每个人均在推理。

　　这就是“帽子的颜色问题”。本人将这个问题简化了。原来的问题比较复杂。它是这样的：

　　有一个游戏，有一个主持人和一群人（假定有n人），戴了两种颜色的帽子，每个人的帽子的颜色或者是红色或者是白色，但每个人不能看到自己的帽子的颜色却看得到其他人的帽子的颜色。游戏的主持人说：“你们中至少一个人的帽子是红色的。”主持人开始一次次地问：“你们知道不知道自己的帽子的颜色？”现在的问题是：当主持人问到第几次时，才有人说“知道”？并且多少人说“知道”？

　　据说，这个问题在20世纪曾风靡欧美。

（田成杰/2009-3-29摘编、整理）

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有难度

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是的想一会

小扑

博弈的学问很深啊  玩不转