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001 博弈论与诺曼底战役决策
普林斯顿大学的一道习题
   题目：如果给你两个师的兵力，由你来当“司令”，任务是攻克“敌人”占据的一座城忆而敌军的守备力量是三个师，规定双方的兵力只能整师调动。
通往城市的道路只有甲乙两条。当你发起攻击的时候，你的兵力超过敌人，你就获胜；你的兵力比敌人的守备兵力少或者相等，你就失败，那么，你将如何制定攻城方案？
“司令”发牢骚躺倒不干：“为什么给敌人三个师的兵力而只给我两个师？这太不公平，兵力已经吃亏，居然还要规定兵力相等则敌胜我败，连规则都不公平，完全偏袒敌人。”为此你也许会大为不满。来个躺倒不干。
其实，这次模拟“作战”，每一方取胜的概率都是50％，即谁胜谁负的可能性是一半对一半。你这个司令能否神机妙算，指挥队伍克敌制胜，还得看你的本事。
为什么说取胜的概率是一半对一半呢，让我们先学一点儿“纸上谈兵”。
我们来分析一下：敌人有三个师，布防在甲乙两条通道上。由于必须整师布防，敌人有四种部署方案，即：
A，三个师都驻守甲方向；
B,两个师驻守甲方向，一个师驻守乙方向；
C,一个师驻守甲方向，两个师驻守乙方向：
D，三个师都驻守乙方向。
同样，你有两个师的攻城部队，可以有三种部署方案，即：
a，集中全部两个师的兵力从甲方向攻击：
b, 兵分两路，一师从甲方向，另一师从乙方向，同时发起攻击；
c，集中全部两个师的兵力从乙方向攻击。
和以前一样，如果我们用“+，-”表示我方攻克，用“-，+”表示敌方守住，就可以画出交战双方的胜负分析表：
　 敌
我 　 A          B           C              D
a         -,+    -,+       +,-      +,-
b        +,-     -,+       -,+      +,-
c          +,-  +,-       -,+       -,+
　                  

假设你采取a方案，那么如果“敌人”采取A方案，你的两个师将遇到敌军三个师的抵抗，你要败下阵来，所以是（一，十）；如果“敌人”取B方案，你的两个师遇到敌军两个师以逸待劳的抵抗，你也要败下阵来，同样是（一，+）；但是如果“敌人”取C方案，你以两个师打“敌人”一个师，你就会以优势兵力获得胜利，结果是（十，一）；同样，如果“敌人”采取D方案，你攻在敌军的薄弱点上，你就能长驱直入，轻取城池，结果也是（十，一）。
和以前的博弈表示略微不同的地方，是现在每个格子里面只有正负号，没有数目字。希望这不会使你感到不安。如果你还是喜欢有数目字，那也容易得很，每个正负号后面都加上同一个数目字就行，同一个1．同一个1944，或者同一个1998。要紧是表达出输赢。
这你就知道，在上述表达中，正负号要紧，具体数目字无所谓。
诺曼底登陆模拟：取胜概率相等
交战双方的胜负分析表画出来以后，从…，一”的分布来看，似乎双方取胜的机会都一样大。一直看《博弈论平话》的读者，可以运用劣势策略消去法把它化简。
实际做这个题目的时候，如果先从我方入手一下于是分不出优劣来的。a和b，b和c,a和c之间，都说不上谁比谁优，谁比谁劣。于是我们从敌方入手，尝试站在敌军的立场，比较策略A和B。如果我军采取策略a，敌军取A或B都会赢，结果一样。如果我军采取策略b，敌军取A会输取B会赢，如我军采取策略c，敌军取A或B都会输。可见，在敌军看来，策略B比策略A好：采取策略A会赢的话（如果我军取a），采取策略B一定也会赢；采取策略A会输的话（如果我军取b或c），采取策略B却不一定会输，因为假如我军取b，敌军就赢了。
同样，策略C和D比较，C是优势策略，而D是劣势策略。
智慧的或者说理性的局中人是不会采用劣势策略的，所以当做出博弈的矩阵表示以后，如果发现劣势策略，你就可以把它划去，这就是劣势策略消去法。
现在，剩下上边那个三行两列的矩阵，六个格子中，（一， ＋）比（十，一）多，似乎敌方的赢面比较大，其实不然。因为到了敌方不会采用“笨蛋”策略的时候，到了敌方只剩下B和C两个较优策略的时候，我方的三个策略之中，原来不是劣势策略的b现在就变成劣势策略了。我们也不是笨蛋，所以我们也应该把b删去。最后，得到下边那个两行两列的矩阵博弈表示。
情况最终就是这样：敌军必取B或C那样的二一布防，一路两个师，另一路一个师，而我军必集中兵力于某一路实施攻击，即a或c那样的攻击策略。这样，你若攻在敌军的薄弱处，你就获胜，你若攻在敌人兵力较多的地方，你就失败，总之，敌我双方获胜的可能性还是一样大，“司令”先生：不要躺倒不干，你不比对方吃亏。
这虽然是一个模拟的例子，却具有相当的现实意义，诺曼底战役前的情况，大体也是这个样子。跨海作战，攻方能够调动来渡海作战的兵力，通常总是比守方可以用于守备的兵力少。模拟作战中假设攻方兵力力两个师而守方的兵力为三个师，就是这样的背景。另外，渡海登陆作战，通常至少在一开始的时候，攻方要承受很大的牺牲。模拟作战中规定若攻守双方兵力相等则攻方失败，体现了这个意思。
002 博弈论简介
"对于一些非数学专业和经济学专业的人们来说，博弈论可能是一个极为陌生的概念。事实上，就是一些经济学专业毕业的学生，他们的博弈论知识也十分有限，我自己也是这样，略知皮毛而已（不，甚至连皮毛都未能真正了解）。因为国内学者把博弈论运用于经济学研究不过是近几年的事，也不普遍，而且它本身的内容也博大精深。但在国外，博弈论已成为占据主流的分析工具，如果你不懂得博弈论，那么你会被认为是没有真正懂得经济学。
   博弈论的提法可能太过于学术化，容易让人们退避三舍。其实它有一个非常通俗的名字——游戏理论（博弈论的英文名字叫做“Game Theory”，如果直译，就是“游戏理论”）。博弈论在我国还有一个名字，叫对策论。这些名字都很好理解，博弈字面意思就是赌博、下棋，赌博和下棋当然是游戏了，赌博和下棋的时候常常要千方百计地应付对手，自然是要讲究对策了。
   如果我们要进行一场游戏，首先肯定要有参加游戏的人，没有人参加，游戏就不会进行下去，游戏活动的参与人有一个学术名称叫“局中人”；其次，每一个“局中人”都有自己的“行动”，或者叫做“策略”、“对策”，如果行动不是单一的，那么这个局中人所有的行动构成一个集合，称行动组合或策略组合；另外，还应该约定输家要付出什么代价，赢家可获得什么利益，这在术语上叫做“支付”（或“报酬”）。当然，一场游戏肯定结果不是唯一的，各个参与人分散决策采取不同的行动，会造成不同的结果。但是纳什证明出，在有限个局中人参加的有限行为对策中，至少存在一个所有参与人的最优战略的组合，这叫做“纳什均衡”。处于纳什均衡状态下，每个人都不能通过改变策略来得到更大的收益，所以谁也不存在改变现状的动力。
    举一个具体的例子来说明一下。这个例子叫“囚犯困境”，是被一些教材广泛引用的例子，并且西方经济学者围绕这个例子发表过不下百篇学术论文。它是这样的（有兴趣的读者可参见青年经济学家张维迎的《博弈论与信息经济学》，这本书几乎成了经济学研究生的必读书）：两个嫌疑犯（A和B）作案后被警察抓住，隔离审讯；警方的政策是“坦白从宽，抗拒从严”，如果两人都坦白各判8年，如果一人坦白另一人不坦白，坦白的放出去，不坦白的判10年，如果都不坦白则因证据不足各判1年。
    在这个例子里，局中人就是两个嫌疑犯A和B，他们每个人都有两个策略即坦白和不坦白，判刑的年数就是他们的支付。可能出现的四种情况：A和B均坦白或均不坦白、A坦白B不坦白或者B坦白A不坦白，是博弈的结果。A和B均坦白是这个博弈的纳什均衡。我们可以用下面的表来表述这个博弈，表中，第一个数字是A的支付（因为是判刑是负效用，故以负号记之），第二个数字是B的支付。
   囚犯B  
  坦白 抵赖
囚犯A 坦白  -8，-8  0，-10
抵赖 -10，0 -1，-1
我们看到，假定A选择坦白的话，B最好是选择坦白，因为B坦白判8年而抵赖却要判十年；假定A选择抵赖的话，B最好还是选择坦白，因为B坦白判不被判刑而抵赖确要被判刑1年。即是说，不管A坦白或抵赖，B的最佳选择都是坦白。反过来，同样地，不管B是坦白还是抵赖，A的最佳选择也是坦白。结果，两个人都选择了坦白，各判刑8年。在（坦白、坦白）这个组合中，A和B都不能通过单方面的改变行动增加自己的收益，于是谁也没有动力游离这个组合，因此这个组合是纳什均衡。
    张维迎指出，囚徒困境反映了个人理性和集体理性的矛盾。如果A和B都选择抵赖，各判刑1年，显然比都选择坦白各判刑8年好得多。当然，A和B可以在被警察抓到之前订立一个“攻守同盟”，但是这可能不会有用，因为它不构成纳什均衡，没有人有积极性遵守这个协定。
    “囚犯困境”在经济学上有很多应用，也有力地解释了一些经济现象。比如中东石油输出国组织（Organization of Petroleum Exporting Countries,简称OPEC）的成立，本身要限制各石油生产国的产量，以保持石油价格，以便获取利润。但成员国并不遵守组织的协定，每个成员国都这样想，只要他们不增加产量，我增加一点点产量对价格没什么影响，结果每个国家都增加产量，造成石油价格下跌，大家的利润都受到损失。当然，一些产量增加较少的国家损失更多，于是也更加大量生产，造成价格进一步下降——结果，陷入一个困境：大家都增加产量，价格下跌，大家再增加产量，价格再下跌……我们不妨考察一下历史：
    1960年，5个产油国成立欧佩克（OPEC）。1973年成员国扩大到13个。当时各国还少有产量欺骗行为。1973年，阿-以战争爆发，为了报复以色列和西方国家，OPEC突然大幅度削减石油出口，致使世界原油价格由$2.91/桶暴涨到1974年$10.77/桶。这一意外事件让OPEC看到了组建卡特尔的诱人前景。1978年伊朗发生革命，其石油生产一度陷于瘫痪，既而两伊战争爆发，许多石油设施受到破坏，世界石油价格进一步涨到80年代初的$40/桶。但是，高额的利润导致各个国家的产量欺骗行为（实际产量大于限产计划），即各国不再遵守产量协定，擅自提高产量以获取更大的市场和更多的利润，从而导致石油价格下跌——当然，价格下跌也与世界其他地区如墨西哥油田、阿拉斯加油田、北海油田等石油供给增加有关。1982年世界石油价格为$32/桶，1984年为$27/桶，1987年为$18/桶，以后基本上在$15-18/桶之间波动。
   理论上，几乎所有的卡特尔都会遭到失败，原因就在于卡特尔的协定（类似囚犯的攻守同盟）不是一个纳什均衡，没有成员有兴趣遵守。最近发生的一个案例再次证明了这一点。今年4月，长虹突然宣布彩电降价，对彩电业带来了巨大震动。随即，康价佳老总陈伟荣、TCL老总李东生、创维老总黄宏生达成默契：建立彩电联盟。直到4月20日下午，康佳仍表示不降价，但当晚陈伟荣突然改变主意，搞得李、黄措手不及。4月24日，本来三方准备坐下来商讨降价后的进一步策略，结果又是陈伟荣爽约。
    那么不可能有卡特尔合作成功了？理论上，如果是无限期的合作，双方考虑长远利益，他们的合作是会成功的。但只要是有限次的合作，合作就不会成功。比如合作10次，那么再第九次博弈参与人就会采取不合作态度，因为大家都想趁最后一次机会捞一把，反正以后我也不会跟你合作了。但是大家料到第九次会出现不合作，那么就很可能再第八次就采取不合作的态度。第八次不合作会使大家在第七次就不合作……一直到，从第一次开始大家都不会采取合作态度。

当然，这只是理论上的分析。现实中影响人们决策和态度的因素很多，所以，有些博弈的结果并不体现为纳什均衡。在国外曾做过一个“囚犯困境”的实验，被实验者是素未谋面的一个男生和一个女生。开始，这个男生每次都选择“坦白”，这是符合纳什均衡的。后来实验者有意安排了一次喝咖啡的机会，使男生发现自己的对手是一个漂亮的女生。结果以后的测验中，男生每次都选择不坦白以获取女孩的好感。
     不过，不管怎样，博弈论都是一个强有力的分析工具。现在，它不仅在经济学领域得到广泛应用，在军事、政治、商业征战、社会科学领域以及生物学等自然科学领域都有非常重大的影响，工程学中如控制论工程也少不了它。我们举的例子，只是帮助大家形成博弈论的基本概念，实际上它是非常精深的。现在与它紧密联系的经济学分支是信息经济学。信号游戏、拍卖形式、激励机制、委托人—代理人理论和公共财政学是博弈论和信息经济学研究的重要课题。
   应该感谢美国数学家冯?诺依曼（Von Neumann）和摩根斯坦（Morgenstern），是他们在《博弈论和经济行为》（1944）一书中提出了博弈论的经济思想。冯?诺依曼在数学、计算机、经济学等领域都有奇才般的贡献，可惜英年早逝。1950-1954年，美国数学家统计学家纳什接连发表多篇论述对策论的文章，奠定了现代博弈论学科体系的基础。

heartliver

有没有系统介绍或者学习资料阿？

水果书生

想起来学校里的时候，那些智猪顶牛什么的，呵呵
很有意思
感觉又回到了凤凰花开的地方
顶一下

[此贴子已经被作者于2003-3-14 23:28:46编辑过]

小七

DDDDDD！好贴！

仲锋陵

好贴！我强烈顶一下！

扬子

楼上好帖！

同时我觉得这样的好帖如果改用类似“博弈论与诺曼底战役决策”做标题是否会更好一些 ？

我是个喜欢完美的家伙，觉得最好在标题里即讲出主题，楼主看呢 ？

单枫芷叶

顶一个！