人员投入（分配）可以精打细算

elbobby

人员投入（分配）可以精打细算
       人员投入一直以来是公司“心腹大患”，到底要怎么投，投多少人，投多了浪费资源和效能，投少了创收拉不起来，反而效能降低了，我们往往从经验角度去看，例如我们手头上3个人新员工，现在有2个区域可以投入人员，那到底是3个人全部投到A区域，还是1个投A，其他2个投B区域， 1－2个人还好算，3、4、5个人呢？或是更多的人呢？
       我们都知道其实人员数和业务产出，并不是成正比的，一个市场，一个客户的伸缩容量是有限的，不像一台标准大巴能装45人，两台标准大巴就能装90人，这是成正比的例子，举个不成正的例子，例如飞机的引擎，飞机引擎越多，可能速度会越快，2台引擎最大可以达到1000KM/H,但是3台引擎就可以达到15000KM/H吗？4台能达到20000KM/H吗？答案当然是否定的，这个例子跟我们在区域投入人员一样，投第一个预计一个月能产生20000元的创收，投第二个就未必了，可能只有15000或是更少，但是我们可通过实验和预测，到底投1到N个人可以给我们产生多少创收，但最终也不可能因为你投人投无限多，产生的业务就会越来越多，毕竟区域业务容量是有限的。
      回到今天我要跟大家分享的正题，如何在人员投入及分配上做到精打细算，我想同大家分享动态规划法解决资源分配的问题，其实这种方法还是相对比较简单的，有高中数学基础的人应该一看就能领会，因为其中涉及到的都是线性的算法。
      所谓分配问题，就是将数量一定的一种或若干种资源（如人员、设备、材料等），恰当地分配给若干区域或是使用者，从而使目标函数为最优。
     解决这个问题必须用到逆推法。
    讲理论干涩涩，我们列举一个实际的案例吧！

案例：中华分部根据下半年人员投入规划需要投入5人，现有3个区域A、B、C具有业务潜力，作为投人备选区域，即要将该5人分给这三个区域。
   首先该分部通过实验和预测，按单区域人员的投入人数预测创收如下表1：

预人员投入数量	中华分部
	预计创收
	A区域	B区域	C区域
0	0	0	0
1	15000	16000	12000
2	28000	34000	28000
3	40000	50000	42000
4	50000	55000	54000
5	60000	55000	56000

  现在我们就来解决如何将5人分给各个区域，我们的创收产出最大。
解
  将问题按区域分成本个阶段，A、B、C三个区域分别编号为1、2、3
设sk表示为分配给第k个区域至第n个区域的人数
xk表示为分配给第k个区域的人数
则sk+1=sk-xk为分配给第k+1个区域至第n区域的人数。
Pk(xk )表示为xk个人分配到第K个区域所获得的创收值。
fk(sk)表示为sk人分配给第K个区域至第K个区域时所得到的最大创收值。
因而有逆推关系式为
fk(sk)=max[Pk(xk)+fk+1(sk－xk)],k=3,2,1
f4(s4)=0
我们开始从最后一个阶段开始向前逆推计算。
第三阶段
设将s3个人（s3=0,1,2,3,4,5）全部分配给区域C时，则最大创收为
     f3(s3)=max[P3(x3)]
其中x3=s3=0,1,2,3,4,5
  因为此时只有一个C区域，有多少个人就全部分配给区域C，故它的创收段就是该段的最大创收值，其数值计算如下表2

s3	P3（x3）						f3(s3)	x3*
	0	1	2	3	4	5
0	0						0	0
1		12000					12000	1
2			28000				28000	2
3				42000			42000	3
4					54000		54000	4
5						56000	56000	5

表中x3*表示使f2(s3)为最大值时的最优决策方案。

第二阶段
设将s2个人（s2=0,1,2,3,4,5）分配给区域B和C时，则对每个s2值，有一种最优分配方案，使最大创收值为
f2(s2)=max[P2(x2 )+f3(s2-x2)]
其中
x2=0,1,2,3,4,5
因为给B区域x2人，其创收为P2(x2)+f3(s2-x2)取最大值。其数值计算如下表3：

s2	P2(x2)+f3(s2-x2)						f2(s2)	x2*
	x2
	0	1	2	3	4	5
0	0						0	0
1	0+12000	16000+0					16000	1
2	0+28000	16000+12000	34000+0				34000	2
3	0+42000	16000+28000	34000+12000	50000+0			50000	3
4	0+54000	16000+42000	34000+28000	50000+12000	55000+0		62000	2,3
5	0+56000	16000+54000	34000+42000	50000+28000	55000+12000	55000+0	78000	3

第一阶段：
设将s1人（这里只有s1=5的情况）分配至A、B、C三个区域时，则创收最大值为
f1(5)=max[P1(x1)+f2(5-x1)]
x1=0,1,2,3,4,5
其中
  因为给A区域x1人，其创收为P1（x1）,剩下的5－x1人就分给B和C两个区域，则它的最大创业值为f2(5-x1)。现在要选择x1值，使得P1（x1）+f2(5-x1)取最大值，它就是所求的总创收最大值，其数值计算如下表4：

S1	P1(x1)+f2(5-x1)						f1(5)	x1*
	x1
	0	1	2	3	4	5
5	0+78000	15000+62000	28000+50000	40000+34000	50000+16000	60000+0	78000	0,2

然后按计算表格的顺序反推算，可知最优分配投入方案有两个

• 由于x1*=0,根据s2=s1- x1*=5-0=5,查表3可知x2*=3，由s3=s2-x2*=5-3=2。即得A区域投入0人，B区域投入3人，C区域投入2人。
• 由于x1*=2, 根据s2=s1-x1*=5-2=3,查表3可知x2*=3，由s3=s2-x2*=3-3=0。即得A区域投入2人，B区域投入3人，C区域投入0人。
  

最大的创收是78000元。